量子アニーリング ２
ずいぶん前に、量子アニーリングについてのエントリを書いた。ほとんど誰も読んでいないとは思うが、自身で読み返してみると、説明としてどうなのか？と思う部分がある。そこで、「量子アニーリング２」として、エントリを書いてみようと思う。
まず、歴史的なことである。量子アニーリングが、初めて最適化アルゴリズムとして提案されたのは、Apploni et al. [1]のように思う。その後、Finnila et al. [2]やKadowaki, Nishimori [3]に続くようである。これらの論文で提案されているアルゴリズムのコンセプトは同等であると思うが、交換関係として、位置・運動量の交換関係 を使うか、SU(2)の交換関係を使うかの違いはある。
続いて、量子アニーリングの実装についてである。以前の記事では、鈴木トロッター展開をする計算方法に触れた。例えば、[4]などにかかれている。これは、スピン系の量子アニーリングをモンテカルロ的に実装する方法であり、スピンの数に対してスケールしやすく、汎用性のある実装方法である。しかし、量子アニーリングの実装は、この限りではない。実際、[3]では、シュレディンガー方程式を直接解く。モンテカルロを用いないことは１つの利点だと思うが、スピンの数に対して、スケールしないという問題がある。上記は何れも、離散変数の最適化、組み合わせ最適化が念頭にあることを付け加える。
連続変数の最適化は、ファインマン経路積分を適用するなどすれば計算可能であるが、深くは触れない。（後で加筆するかもしれない。）
量子アニーリングのダイナミクスについては、日本語の[5]の解説記事が勉強になった。とてもおもしろいので、興味がある人は読んでみてはいかかでしょうか？
[1] B. Apolloni, C. Carvalho, and D. de Falco, “Quantum
stochastic optimization,” Stochastic Processes and their Applications,
vol. 33, no. 2, pp. 233–244, 1989. [Online]. Available:
http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/0304414989900409
[2] A. Finnila, M. Gomez, C. Sebenik, C. Stenson, and
J. Doll, “Quantum annealing: A new method for minimizing
multidimensional functions,” Chemical Physics Letters, vol.
219, no. 56, pp. 343–348, 1994. [Online]. Available:
http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/0009261494001170
[3] T. Kadowaki and H. Nishimori, “Quantum annealing in the transverse
ising model,” Phys. Rev. E, vol. 58, pp. 5355–5363, Nov 1998.
[Online]. Available: http://journals.aps.org/pre/abstract/10.1103/PhysRevE.58.5355
[4] R. Martonak, G. E. Santoro, and E. Tosatti, “Quantum annealing by
the path-integral monte carlo method: The two-dimensional random
ising model,” Phys. Rev. B, vol. 66, p. 094203, Sep 2002. [Online].
Available: http://journals.aps.org/prb/abstract/10.1103/PhysRevB.66.094203
